Ableitungsregeln

Linearität: Summen- und Konstantenregel

f=(∑_(k=0)^10)(x^k)

D[f,x]

Produktregel

D[u[x]*v[x],x]

Erweiterung auf mehrere Faktoren

D[u[x]*v[x]*w[x],x]

Quotientenregel

D[((u[x])/(v[x])),x]

Together[D[((u[x])/(v[x])),x]]

Kettenregel

Clear[f]

D[g[f[x]],x]

Erweiterung auf tiefere Verkettung

D[h[g[f[x]]],x]

Beispiel 4.12

Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}]

D[ArcSin[x],x]

Beispiel 4.13

Plot[ArcTan[x],{x,-5,5}]

D[ArcTan[x],x]

Kurvendiskussion

f[x_]:=x Exp[-x]

D[f[x],{x,n}]

ableitungen=(((-1))^n)(x-n)Exp[-x]

ableitungen/.{n->0}

Factor[D[ableitungen,x]]

Plot[f[x],{x,0,5},PlotRange->All]

ableitung=Factor[D[f[x],x]]

f[1]

zweiteableitung=Factor[D[f[x],{x,2}]]

f[2]

Limit[f[x],x->∞]

Satz von Rolle

f=(x^3)-4(x^2)+3x+2

Solve[f==2,x]

Plot[{f,2},{x,-2,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

Wo sind die vom Satz von Rolle prognostizierten Stellen?

Plot[Evaluate[{f,2,Apply[Sequence,f/.Solve[D[f,x]==0,x]]}],{x,-2,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.01,0.01}],Dashing[{0.01,0.01}]}]

Mittelwertsatz

Plot[{f,1+x},{x,-2,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

Wo sind die vom Mittelwertsatz prognostizierten Stellen?

sol=Solve[D[f,x]==1,x]

Tangente[f_,x_,x0_]:=(f/.x->x0)+(D[f,x]/.x->x0)*(x-x0)

Plot[Evaluate[{f,1+x,Tangente[f,x,x/.sol[[1]]],Tangente[f,x,x/.sol[[2]]]}],{x,-2,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.01,0.01}],Dashing[{0.01,0.01}]}]

Beispiel 4.15

Limit[(((x^2)+x-2)/((x^2)-1)),x->1]

Beispiel 4.16

Limit[((1-Cos[3x])/(1-Cos[x])),x->0]

Grenzwerte Übung 4.10

Limit[(x/(1-Exp[-x])),x->0]

Limit[((Sin[x]-x)/((x^2) Sin[x])),x->0]

Limit[((Sin[5x])/(Tan[3x])),x->0]