Flächenapproximationen

Unprotect[Links]

Links[f_,{x_,a_,b_}]:=((b-a)/n)(∑_(k=0)^(n-1))(f/.x->a+(k/n)(b-a))

LinksIntegral[f_,{x_,a_,b_}]:=Limit[Links[f,{x,a,b}],n->∞]

Rechts[f_,{x_,a_,b_}]:=((b-a)/n)(∑_(k=1)^n)(f/.x->a+(k/n)(b-a))

RechtsIntegral[f_,{x_,a_,b_}]:=Limit[Rechts[f,{x,a,b}],n->∞]

Links[Exp[x],{x,0,1}]

LinksIntegral[Exp[x],{x,0,1}]

RechtsIntegral[Exp[x],{x,0,1}]

LinksIntegral[(x^2),{x,a,b}]

LinksIntegral[(x^3),{x,a,b}]

LinksIntegral[(x^4),{x,a,b}]

RechtsGeometrisch[f_,{x_,a_,b_}]:=(∑_(k=1)^n)(f/.x->a*((((b/a)))^(k/n)))(a((((b/a)))^(k/n))-a((((b/a)))^((k-1)/n)))

RechtsGeometrischIntegral[f_,{x_,a_,b_}]:=Limit[RechtsGeometrisch[f,{x,a,b}],n->∞]

RechtsGeometrisch[(1/x),{x,a,b}]

RechtsGeometrischIntegral[(1/x),{x,a,b}]

RechtsGeometrischIntegral[(x^m),{x,a,b}]

Mittelwertsatz der Integralrechnung

f[x_]:=(x^3)-(x^2)

Plot[f[x],{x,-1,2},PlotRange->All]

m=f[-1]

M=f[2]

mittelwert=(((∫_(-1)^2)f[x]\[DifferentialD]x)/3)

sol=Solve[f[x]==mittelwert,x]

ξ=x/.sol[[1]]

N[ξ]

Plot[{f[x],mittelwert},{x,-1,2},PlotRange->All,PlotStyle->{RGBColor[0,0,0],RGBColor[1,0,0]}]

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Clear[f]

∫f'[x]\[DifferentialD]x

D[∫f[x]\[DifferentialD]x,x]

(∫_a^b)F'[t]\[DifferentialD]t

D[(∫_a^x)f[t]\[DifferentialD]t,x]

D[(∫_x^b)f[t]\[DifferentialD]t,x]

D[(∫_(g[x])^(h[x]))f[t]\[DifferentialD]t,x]

∫u'[x]*v[x]\[DifferentialD]x

Beispiel 5.9

int=∫((Sin[x])^2)\[DifferentialD]x

TrigExpand[int]

Beispiel 5.11

int=∫((Cos[x])^3)Sin[x]\[DifferentialD]x

Beispiel 5.12

int=∫Exp[Cos[(x^2)]]Sin[(x^2)]x \[DifferentialD]x

Beispiel 5.13

int=∫(Sqrt[1-(x^2)]) \[DifferentialD]x

Beispiel 5.14

int=(∫_(-a)^a)((Cosh[x])^2)\[DifferentialD]x

Beispiel 5.15

int=(∫_0^1)(Sqrt[1-(x^2)])\[DifferentialD]x

Beispiel 5.16

int=∫((Exp[x])/(2Exp[x]+1))\[DifferentialD]x

Beispiel 5.17

int=∫(x/((x^2)+1))\[DifferentialD]x

Arcustangensintegral

diff=D[(x/(2(n-1)(((1+(x^2)))^(n-1))))+((2n-3)/(2(n-1)))∫(1/(((1+(x^2)))^(n-1)))\[DifferentialD]x,x]

Together[diff]

Beispiel 5.19

int=∫((4x+5)/((x^2)+3))\[DifferentialD]x

Beispiel 5.20

int=∫(1/((x^4)-1))\[DifferentialD]x

Apart[(1/((x^4)-1)),x]

Beispiel 5.23

int=(∫_0^1)(1/(Sqrt[1-x]))\[DifferentialD]x

Beispiel 5.24

int=(∫_0^∞)(x/((((x^2)+1))^2))\[DifferentialD]x

Beispiel 5.27

int=(∫_1^∞)((Sin[x])/(x^2))\[DifferentialD]x

N[int]

NIntegrate[((Sin[x])/(x^2)),{x,1,∞}]

Plot[((Sin[x])/(x^2)),{x,1,30}]