Taylorpolynome

f=Cos[x]

taylor=(∑_(k=0)^5)(((D[f,{x,k}]/.x->0))/(k!))(x^k)

taylor2=(∑_(k=0)^5)(((D[f,{x,k}]/.x->(π/2)))/(k!))(((x-(π/2)))^k)

Plot[{f,taylor,taylor2},{x,-5,5}]

Sin[85 Degree]//N

taylor=Series[Sin[x],{x,(π/2),5}]

Normal[taylor]/.x->85 Degree//N

Plot[Evaluate[{(Sqrt[1+x]),(∑_(k=0)^5)(((D[(Sqrt[1+x]),{x,k}]/.x->0))/(k!))(x^k)}],{x,-1,2}]

(∑_(k=0)^5)(((D[(Sqrt[1+x]),{x,k}]/.x->0))/(k!))(x^k)/.x->0.01

Gegenbeispiel: Taylorpolynom konvergiert nicht gegen die Funktion

Plot[Exp[-(1/(x^2))],{x,-1,1}]

Plot[Exp[-(1/(x^2))],{x,-0.01,0.01}]

Exponentialreihe

Series[(E^x),{x,0,10}]

Logarithmusreihe

Series[-Log[1-x],{x,0,10}]

Arkustangensreihe

Series[ArcTan[x],{x,0,10}]

Weitere Reihen:

Series[(Sqrt[1+x]),{x,0,10}]

Series[ArcSin[x],{x,0,10}]

Series[(1/(1-x)),{x,0,10}]

Series[Cos[x],{x,0,10}]

Series[Sin[x],{x,0,10}]

Graphische Darstellung

f=(1/(1-x))

plot1=Plot[f,{x,-1,1},PlotRange->{0,5},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

plot2=Plot[Evaluate[Table[Normal[Series[f,{x,0,k}]],{k,0,5}]],{x,-1,1}]

Show[plot1,plot2]

Integration durch Reihenentwicklung

1. Beispiel

NIntegrate[(E^(x^2)),{x,0,1}]

(∫_0^1)(E^(x^2))\[DifferentialD]x

N[%,20]

res=(∫_0^1)((∑_(k=0)^10)((x^(2k))/(k!)))\[DifferentialD]x

N[res,20]

fehler=(E/((2n+3)(n+1)!))/.{n->10}//N

2. Beispiel

NIntegrate[((Sin[x])/x),{x,0,1}]

(∫_0^1)((Sin[x])/x)\[DifferentialD]x

N[%,20]

res=(∫_0^1)((∑_(k=0)^10)(((-1))^k)((x^(2k))/((2k+1)!)))\[DifferentialD]x

N[res,20]

fehler=(1/((2n+3)(2n+3)!))/.{n->10}//N