Cauchyprodukt der Exponentialreihe

sum[((x^k)/(k!)),{k,0,∞}]*sum[((y^k)/(k!)),{k,0,∞}]==sum[(∑_(j=0)^k)((x^j)/(j!))((y^(k-j))/((k-j)!)),{k,0,∞}]

(∑_(j=0)^k)((x^j)/(j!))((y^(k-j))/((k-j)!))

Potenzreihen: Konvergenzradius

Konvergenzradius[a_,k_]:=Limit[Abs[(a/((a/.k->k+1)))],k->∞]

Exponentialreihe

Konvergenzradius[(1/(k!)),k]

Cosinusreihe

Konvergenzradius[((((-1))^k)/((2k)!)),k]

Geometrische Reihe

Konvergenzradius[1,k]

Geometrische Reihe

Konvergenzradius[(((-1))^k),k]

f=(1/(1+(x^2)))

plot1=Plot[f,{x,-2,2},PlotRange->{0,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

plot2=Plot[Evaluate[Table[Normal[Series[f,{x,0,k}]],{k,5,10}]],{x,-2,2}]

Konvergenz nur im Konvergenzkreis

Show[plot1,plot2]

Der Integralsinus

Wir interessieren uns für eine Stammfunktion der Funktion ((Sin[x])/x):

∫((Sin[x])/x)\[DifferentialD]x

(∫_0^x)((Sin[t])/t)\[DifferentialD]t

FullForm[%]

Plot[SinIntegral[x],{x,-10,10}]

Man nennt diese Funktion den Integralsinus. Die Sinusfunktion hat die Potenzreihendarstellung

Sin[x]==sum[((((-1))^k)/((2k+1)!))(x^(2k+1)),{k,0,∞}]

also

((Sin[x])/x)==sum[((((-1))^k)/((2k+1)!))(x^(2k)),{k,0,∞}]

und schließlich

∫((Sin[x])/x)\[DifferentialD]x==sum[∫((((-1))^k)/((2k+1)!))(x^(2k))\[DifferentialD]x,{k,0,∞}]

Die sich ergebende Potenzreihe lässt sich zur numerischen Berechnung des Integralsinus nutzen:

Table[Sum[(((((-1))^k) (1^(2 k+1)))/((2 k+1) (2 k+1)!)),{k,0,n}],{n,1,10}]//N

SinIntegral[1.0]

f=((Log[1+x])/(1-x))

Series[f,{x,0,10}]

Konvergenzgeschwindigkeit der alternierenden harmonischen Reihe bei der Approximation von ln(2)

S[n_]:=(∑_(k=0)^n)(((-1))^k)(1/(k+1))

S[100]-Log[2]//N

S[1000]-Log[2]//N

S[10000]-Log[2]//N

S[100000]-Log[2]//N

Graphische Darstellung der harmonischen Reihe und des Integralkriteriums

plot1=Plot[(1/x),{x,0,10},PlotRange->{0,1},DisplayFunction->Identity];

plot2=Table[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Line[{{k,(1/k)},{k+1,(1/k)},{k+1,(1/(k+1))}}]}],{k,1,10}];

plot3=Table[Graphics[{RGBColor[0,0,1],Line[{{k,(1/(k+1))},{k+1,(1/(k+1))},{k+1,(1/(k+2))}}]}],{k,1,10}];

Show[plot1,plot2,plot3,DisplayFunction-> $DisplayFunction]

Abschätzung der Approximation von (∑_(k=1)^∞)(1/(k^5)) mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

(∑_(k=1)^∞)(1/(k^5))

(∑_(k=1)^∞)(1/(k^5))//N

Approximation durch 100 Summanden

(∑_(k=1)^100)(1/(k^5))

(∑_(k=1)^100)(1/(k^5))//N

Fehlerabschätzung

(∫_101^∞)(1/(x^5))\[DifferentialD]x

(∫_101^∞)(1/(x^5))\[DifferentialD]x//N

Abschätzung der Approximation von (∑_(k=1)^∞)(1/(k Log[k])) mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

(∑_(k=2)^∞)(1/(k Log[k]))

Den kennt Mathematica nicht. Anwendung des Integralkriteriums:

(∫_2^∞)(1/(x Log[x]))\[DifferentialD]x

Mathematica behauptet, das Integral (und daher auch die Summe) divergiere. Nachweis über die Stammfunktion:

int=∫(1/(x Log[x]))\[DifferentialD]x

Limit[int,x->∞]

Ein Beispiel, bei welchem die Ableitungen nicht gleichmäßig konvergieren

f=((Sin[n x])/n)

Limit[f,n->∞]

Plot[Evaluate[Table[f,{n,1,30}]],{x,0,2π},PlotRange->{-1,1}]

g=D[f,x]

Limit[g,n->∞]

Plot[Evaluate[Table[g,{n,1,50}]],{x,0,2π}]

Ein Kehrwert

reihe1=Series[f=(((E^x)-1)/x),{x,0,10}]

reihe2=Series[(1/f),{x,0,10}]

reihe1*reihe2

Plot[Evaluate[{(1/f),Normal[reihe2]}],{x,-10,10}]

Der Konvergenzradius ist 2π. Man beachte immer: Außerhalb des Konvergenzbereichs wird die Funktion nicht von ihrer Taylorreihe approximiert!

Berechnung der Koeffizienten des Kehrwerts

reihe2=(∑_(k=0)^10)a[k]*(x^k)

produkt=Expand[Normal[reihe1]*reihe2]

liste=Take[CoefficientList[produkt,x],11]

sol=Solve[liste=={1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},Table[a[k],{k,0,10}]]

reihe2/.sol[[1]]

reihe1*(reihe2/.sol[[1]])