Mehrdimensionale Funktionen

Eine Folge im (ℝ^2)

a={{((3(k^3)-k+1)/(4(k^3)+2k))},{(Sqrt[k+1])-(Sqrt[k])}}

Limit[a,k->∞]

Höhenlinien: Beispiel 8.4

f=(x^2)+(y^2)

ContourPlot[f,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Plot3D[f,{x,-5,5},{y,-5,5}]

ParametricPlot3D[{r Cos[ϕ],r Sin[ϕ],(r^2)},{r,0,5},{ϕ,0,2π}]

Eine unstetige Funktion von 2 Variablen: Beispiel 8.7. Funktion ist konstant auf jeder Geraden durch den Ursprung.

f=((x y)/((x^2)+(y^2)))

Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->100]

Beispiel 8.8: Diese Funktion ist unstetig am Ursprung.

f=Sin[(1/((x^2)+(y^2)))]

Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->100]

Beispiel 8.9: Diese Funktion ist stetig am Ursprung.

f=x Sin[(1/((x^2)+(y^2)))]

Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->100]

Ein Sattelpunkt

Plot3D[(x^2)-(y^2),{x,-2,2},{y,-2,2}]

Ein Minimum

plot1=Plot3D[(x^2)+(y^2),{x,-2,2},{y,-2,2}]

Eine Tangentialebene

plot2=Plot3D[0,{x,-2,2},{y,-2,2}]

Show[plot1,plot2,PlotRange->All]

Eine Stelle ohne Tangentialebene

Plot3D[(Sqrt[(x^2)+(y^2)]),{x,-2,2},{y,-2,2},ViewPoint->{1,1,0.4}]

Beispiel 8.10

f=(x^2)+(y^2)

D[f,x]

D[f,y]

Beispiel 8.10

f=Sin[x y]

D[f,x]

D[f,y]

Beispiel 8.22

F[x_,t_]:=Integrate[Sin[s-t],{s,0,x}]

F[x,t]

D[F[x,t],t]

Integrate[D[Sin[s-t],t],{s,0,x}]

Beispiel 8.25

f={x (y^2),Sin[y+z]}

g={r Cos[ϕ], r Sin[ϕ]}

JacobiMatrix[f_,var_]:=Table[D[f[[k]],var[[j]]],{k,Length[f]},{j,Length[var]}]

JacobiMatrix[f,{x,y,z}]

JacobiMatrix[g,{r,ϕ}]

Beispiel 8.28

Clear[a,f,g]

v[t_]:=(∫_a^(h[t]))f[x,t]\[DifferentialD]x

D[v[t],t]

Beispiel 8.29

f[x_,y_]:=(x^2)+ (y^2)

Grad[f_,var_]:=Table[D[f,var[[j]]],{j,Length[var]}]

Grad[f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}]

Übung 8.11

Grad[(1/(1+(x^2)+(y^4))),{x,y}]

Tangentialebene[f_,x_,x0_]:=(f/.Table[x[[j]]->x0[[j]],{j,Length[x]}])+(x-x0).(Grad[f,x]/.Table[x[[j]]->x0[[j]],{j,Length[x]}])

Tangentialebene[(1/(1+(x^2)+(y^4))),{x,y},{3,1}]

Beispiel 8.32

f[x_,y_]:=Sin[x+ (y^2)]

Hessematrix[f_,var_]:=Table[D[f,var[[j]],var[[k]]],{k,Length[var]},{j,Length[var]}]

Taylor2[f_,x_,x0_]:=(f/.Table[x[[j]]->x0[[j]],{j,Length[x]}])+(x-x0).(Grad[f,x]/.Table[x[[j]]->x0[[j]],{j,Length[x]}])+(1/2)(x-x0). (Hessematrix[f,x]/.Table[x[[j]]->x0[[j]],{j,Length[x]}]).(x-x0)

Grad[f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}]

Hessematrix[f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}]

Taylor2[f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])},{0,0}]

Beispiel 8.35

f[x_,y_]:=(((x-1))^2)+(((y-2))^2)

Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

grad=Grad[f[x,y],{x,y}]

Solve[grad==0,{x,y}]

Hessematrix[f[x,y],{x,y}]

Beispiel 8.36

f[x_,y_]:=(((x+y))^2)+Sin[x y]

Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

grad=Grad[f[x,y],{x,y}]

Solve[grad==0,{x,y}]

hesse=Hessematrix[f[x,y],{x,y}]

Det[hesse]/.{x->0,y->0}

Beispiel 8.37

f[x1_,x2_]:={x1+x2,(x1/x2)}

jacobi=JacobiMatrix[f[x1,x2],{x1,x2}]

det=Det[jacobi]

Solve[f[x1,x2]=={y1,y2},{x1,x2}]

Beispiel 8.40

f[x_,y_]:=Exp[y]Cos[x+y]-1

ContourPlot[f[x,y]==0,{x,-10,10},{y,-10,10}]

sol=Solve[f[x,y]==0,x]

Plot[Evaluate[x/.sol],{y,-5,5}]

Solve[f[x,y]==0,y]

grad=Grad[f[x,y],{x,y}]

Beispiel 8.41

f[x_,y1_,y2_]:={(x^2)+(y1^2)+(y2^2)-1,((((x-1))^2)/2)+((y1^2)/3)+((y2^2)/2)-1}

ContourPlot3D[f[x,y1,y2]==0,{x,-3,3},{y1,-3,3},{y2,-3,3}]

jacobi=JacobiMatrix[f[x,y1,y2],{y1,y2}]

Factor[Det[jacobi]]

Solve[f[x,y1,y2]==0,{y1,y2}]

Beispiel 8.44

f[x_,y_]:=(x^2)+(y^2)

g[x_,y_]:=((x^2)/4)+((y^2)/3)-1

eq=Grad[f[x,y]+λ g[x,y],{x,y}]

sol=Solve[eq==0,{x,y,λ}]

plot1=Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}]

plot2=ContourPlot3D[g[x,y]==0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,8}]

Show[plot1,plot2]

Beispiel 8.45

f[x_,y_]:=x (y^2)

g[x_,y_]:=((x^2)/3)+((y^2)/4)-1

eq=Grad[f[x,y]+λ g[x,y],{x,y}]

sol=Solve[eq==0,{x,y,λ}]

plot1=Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}]

plot2=ContourPlot3D[g[x,y]==0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-5,5}]

Show[plot1,plot2]

Weiteres Beispiel

Welche Punkte der Hyperbel (x^2)+(3/2)x y-(y^2)=1 haben den größten bzw. kleinsten Abstand vom Koordinatenursprung?

f=(x^2)+ (y^2)

g=(x^2)+(3/2)x y-(y^2)-1

plot1=ContourPlot[g==0,{x,-3,3},{y,-3,3}]

L=f+λ g

ableitung=Grad[L,{x,y,λ}]

stationär=Solve[ableitung==0,{x,y,λ}]

plot2=Graphics[{Point[{x,y}/.stationär[[1]]],Point[{x,y}/.stationär[[4]]]}]

Show[plot1,plot2]