Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichung, welche durch direkte Integration gelöst werden kann

DE=y'[x ]==(1/(1+(x^2)))

Wir zeichnen das Richtungsfeld

DirectionField[DE_,y_[x_],{x_,a_,b_},{y_,c_,d_},options___]:=Module[{g},
g=DE[[2 ]]/.y[x]->y;
VectorPlot[{1,g},{x,a,b},{y,c,d},options]
]

plot1=DirectionField[DE,y[x ],{x,-5,5},{y,-3,5},Frame->True]

Wir lösen die Differentialgleichung bzw. das zugehörige Anfangswertproblem

∫(1/(1+(x^2)))\[DifferentialD]x

DSolve[DE,y [x],x]

1+(∫_0^x)(1/(1+(t^2)))\[DifferentialD]t

lösung=DSolve[{DE,y[0]==1},y [x],x]

plot2=Plot[y[x]/.lösung,{x,-5,5},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[1,0,0]}]

Show[plot2,plot1,PlotRange->{-2,3}]

sol=NDSolve[{DE,y[0]==0},y [x],{x,-1000000,1000000}]

N[y[x]/.sol[[1]]/.x->1000000]

N[(π/2)]

plot3=Plot[y[x]/.sol,{x,-5,5},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[0,1,0]}]

Show[plot3,plot2,plot1,PlotRange->{-3,5}]

Die Differentialgleichung des unbegrenzten Wachstums

DE=y'[x ]==y[x]

Wir zeichnen das Richtungsfeld

plot1=DirectionField[DE,y[x ],{x,-5,5},{y,-1,5},Frame->True]

Wir lösen die Differentialgleichung bzw. das zugehörige Anfangswertproblem

DSolve[DE,y [x],x]

lösung=DSolve[{DE,y[0]==1},y [x],x]

plot2=Plot[y[x]/.lösung,{x,-5,5},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[1,0,0]}]

Show[plot2,plot1,PlotRange->{-1,5}]

allgemeineres Problem

lösung=DSolve[{y'[x ]==α y[x],y[0]==P},y [x],x]

Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums

DE=y'[x]==α y[x]-β ((y[x])^2)

plot1=DirectionField[DE/.{α->1,β->(1/5)},y[x ],{x,0,10},{y,0,5},Frame->True]

plot2=Plot[Evaluate[y[x]/.DSolve[{DE,y[0]==1},y[x],x][[1]]/.{α->1,β->(1/5)}],{x,0,10},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[0,1,1]}]

Show[plot1,plot2]

y[x]/.DSolve[{DE,y[0]==P},y[x],x][[1]]

Schrittweise Lösung

DE

Gleichung=∫(1/(α y-β (y^2)))\[DifferentialD]y==∫1\[DifferentialD]x

Solve[Gleichung,y]

Apart [(1/(α y-β (y^2))),y]

Zugehöriges Anfangswertproblem

Gleichung=(∫_P^y)(1/(α s-β (s^2)))\[DifferentialD]s==(∫_0^x)1\[DifferentialD]t

Gleichung=Integrate[(1/(α s-β (s^2))),{s,P,y},GenerateConditions->False]==(∫_0^x)1\[DifferentialD]t

Solve[Gleichung,y]

Wo ist der Wendepunkt? Wir leiten die Differentialgleichung ab und erhalten

D[DE,x]

zweiteableitung=D[DE,x]/.{Apply[Rule,DE]}

Map[Factor,zweiteableitung]

sol=Solve[zweiteableitung[[2]]==0,y[x]]

Beispiel 1.4

DE=y'[x]==(1/(1+((y[x])^2)))

DSolve[DE,y[x],x]

Typen expliziter Differentialgleichungen erster Ordnung

rechte Seite hängt nur von x ab:

DSolve[y'[x]==g[x],y[x],x]

DSolve[{y'[x]==g[x],y[x0]==y0},y[x],x]

rechte Seite hängt nur von y ab:

DSolve[y'[x]==h[y[x]],y[x],x]

DSolve[{y'[x]==h[y[x]],y[x0]==y0},y[x],x]

Separable Differentialgleichung

DSolve[y'[x]==g[x] h[y[x]],y[x],x]