Differentialgleichungen

DirectionField[DE_,y_[x_],{x_,a_,b_},{y_,c_,d_},options___]:=Module[{g},
g=DE[[2 ]]/.y[x]->y;
VectorPlot[{1,g},{x,a,b},{y,c,d},options]
]

Hausaufgabe 1: Bernoullische Differentialgleichung

DE=y'[x]==f[x]y[x]+g[x]((y[x])^a)

f[x_]:=(1/x);g[x_]:=(1/(x^3));a=2;

DSolve[DE,y[x],x]

Sukzessive Lösung

u[x]==(1/(y[x]))

DE2=u'[x]==(1-a)f[x]*u[x]+(1-a)*g[x]

A[x_]:=(1/x); B[x_]:=-(1/(x^3));

DSolve[DE2,u[x],x]

homogeneLösung=u[x]->C*Exp[∫-A[x]\[DifferentialD]x]

DEhom=u'[x]==(1-a)f[x]*u[x]

DSolve[DEhom,u[x],x]

spezielleLösung=u[x]->(Exp[∫-A[x]\[DifferentialD]x]*∫B[x]Exp[∫A[x]\[DifferentialD]x]\[DifferentialD]x)

Lösung=u[x]->(u[x]/.homogeneLösung)+(u[x]/.spezielleLösung)

y[x]==(1/(u[x]))/.Lösung//Together

Hausaufgabe 2: Orthogonaltrajektorien

plot1=Plot[Evaluate[Table[(Sqrt[(x^2)+C]),{C,-3,3}]],{x,-5,5},PlotStyle-> {{Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0]}}]

plot2=Plot[Evaluate[Table[-(Sqrt[(x^2)+C]),{C,-3,3}]],{x,-5,5},PlotStyle-> {{Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0]}}]

Show[plot1,plot2,AspectRatio->Automatic]

plot5=Plot[Evaluate[Table[(K/x) ,{K,-6,6}]],{x,-5,5},PlotStyle-> {{Thickness[0.005],RGBColor[0,0,1]}},PlotRange->{-5,5}]

Show[plot1,plot2,plot5,PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic]