Die Schwingungsgleichung

Übung: Beispiel 1: Schwingungsgleichung ohne Reibung

DE=m y''[x]+k y[x]==0

Charakteristisches Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

lösung=Solve[charpol,λ]

Komplexe Lösungen

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Eine reelle Lösungsbasis erhält man mit der Eulerschen Identität Exp[i x]=Cos[x]+i Sin[x] als Realteil und Imaginärteil mit dem Argument

arg=((basis[[2,2]])/I)

{Cos[arg ],Sin[arg ]}

Dies liefert auch DSolve:

DSolve[DE,y[x],x]

Die Konstanten ergeben sich aus einem AWP:

sol=DSolve[{DE,y[0]==1,y'[0]==2},y[x],x]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1},{x,0,50}]

Beispiel 2: Schwingungsgleichung mit Reibung

DE=m y''[x]+R y'[x]+k y[x]==0

Charakteristisches Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

lösung=Solve[charpol,λ]

Wir müssen also eine Fallunterscheidung durchführen. Ist (R^2)-4 k m > 0, so gibt es zwei (negative) reelle λ-Werte: Die Reibung ist so stark, dass kein Schwingungsverhalten mehr auftritt. Den Fall (R^2)-4 k m = 0 nennt man den aperiodischen Grenzfall.

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Die Konstanten ergeben sich aus einem AWP:

sol=DSolve[{DE,y[0]==1,y'[0]==2},y[x],x]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->4},{x,0,50}]

Für (R^2)-4 k m < 0 ergeben sich zwei zueinander konjugiert komplexe λ-Werte und damit als Lösung ein Produkt einer abklingenden Exponentialfunktion mit einer periodischen Funktion.

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->1},{x,0,50},PlotRange->All]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->(1/100)},{x,0,50},PlotRange->All]

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Beispiel 1

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y''''[x]-5y''[x]+4y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat vier verschiedene Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Dies liefert auch DSolve:

DSolve[DE,y[x],x]

Sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms rational, findet man diese auch mit dem Factor-Kommando:

Map[Factor,charpol]

Testen der linearen Unabhängigkeit: Wronskimatrix

WronskiMatrix[basis_,x_]:=Table[D[basis[[k]],{x,j}],{j,0,Length[basis]-1},{k,Length[basis]}]

WronskiDeterminante[basis_,x_]:=Det[WronskiMatrix[basis,x]]

WronskiMatrix[basis,x]

WronskiDeterminante[basis,x]

Lineare Unabhängigkeit im allgemeinen Fall

basis=Table[(E^(λ[k]x)),{k,4}]

WronskiMatrix[basis,x]

WronskiDeterminante[basis,x]

WronskiDeterminante[basis,x]//Factor

Übung: Beispiel 2

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y''''[x]-6y'''[x]+3y''[x]+26y'[x]-24y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat vier verschiedene Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Dies liefert auch DSolve:

DSolve[DE,y[x],x]

Sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms rational, findet man diese auch mit dem Factor-Kommando:

Map[Factor,charpol]

Beispiel 4.3 (a)

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y'''[x]+3 y''[x]+3y'[x]+y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

basis={Exp[-x],x Exp[-x],(x^2)Exp[-x]}

DSolve liefert:

DSolve[DE,y[x],x]

Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y''''[x]-y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

reellebasis=Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]],ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE,y[x],x]

Beispiel 4.3 (b)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y''''[x]+y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

lösung=MapAll[ComplexExpand,lösung]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

reellebasis=Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]],ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE,y[x],x]

Beispiel 4.3 (c)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y''''[x]-4y'''[x]+5y''[x]-4y'[x]+y[x]==0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Factor[charpol]

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

lösung=MapAll[ComplexExpand,lösung]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

reellebasis=Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]],ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE,y[x],x]

Beispiel 4.4 (a)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y'''[x]+3y''[x]+3y'[x]+y[x]==0

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

mit den Anfangswerten

AW={y[0]==3,y'[0]==0,y''[0]==2}

Sukzessive Lösung

ansatz=y[x]==(A+B x+C (x^2)) Exp[-x]

Einsetzen der Anfangswerte

gleichung1=ansatz/.{x->0}/.{y[0]->3}

gleichung2=D[ansatz,x]/.{x->0}/.{y'[0]->0}

gleichung3=D[ansatz,{x,2}]/.{x->0}/.{y''[0]->2}

Solve[{gleichung1,gleichung2,gleichung3},{A,B,C}]

DSolve liefert:

DSolve[Union[{DE},AW],y[x],x]

Lösung mit Wronskimatrix:

W=WronskiMatrix[{Exp[-x],x Exp[-x],(x^2)Exp[-x]},x]

W/.{x->0}

LinearSolve[W/.{x->0},{3,0,2}]

Beispiel 4.4 (b)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE=y'''[x]+3y''[x]+3y'[x]+2 y[x]==0

mit den Anfangswerten

AW={y[0]==3,y'[0]==0,y''[0]==2}

Die Differentialgleichung hat das charakteristische Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung=Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

reellebasis=Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]],ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

basis={reellebasis[[2]],reellebasis[[3]],reellebasis[[5]]}

Sukzessive Lösung

ansatz=y[x]==A basis[[1]]+B basis[[2]]+C basis[[3]]

Einsetzen der Anfangswerte

gleichung1=ansatz/.{x->0}/.{y[0]->3}

gleichung2=D[ansatz,x]/.{x->0}/.{y'[0]->0}

gleichung3=D[ansatz,{x,2}]/.{x->0}/.{y''[0]->2}

Solve[{gleichung1,gleichung2,gleichung3},{A,B,C}]

DSolve liefert:

DSolve[Union[{DE},AW],y[x],x]

Lösung mit Wronskimatrix:

W=WronskiMatrix[basis,x]

W/.{x->0}

LinearSolve[W/.{x->0},{3,0,2}]