Differentialgleichungssysteme

Hausaufgabe 1: Beispiel 3.9

DSolve[{y1'[x]==3y1[x]-x,y2'[x]==y1[x]-y2[x],y1[0]==2,y2[0]==1},{y1[x],y2[x]},x]

Simplify[%]

Schrittweise: Die erste Differentialgleichung löst man mit dem Ansatzverfahren

sol=DSolve[{y1'[x]==3y1[x]-x,y1[0]==2},y1[x],x]

Einsetzen von y

y2'[x]==y1[x]-y2[x]/.sol[[1]]

ergibt wieder eine inhomogene Differentialgleichung, die mit dem Ansatzverfahren gelöst werden kann

Simplify[DSolve[{y2'[x]==y1[x]-y2[x]/.sol[[1]],y2[0]==1},y2[x],x]]

Hausaufgabe 2: Löse y’=A x

A=(({{7, -1, 6}, {-10, 4, -12}, {-2, 1, -1}}))

CharacteristicPolynomial[A,λ]

Eigenvalues[A]

system=Eigensystem[A]

Transpose[system[[2]]]

Somit ist die allgemeine Lösung des homogenen Systems gegeben durch

homogenelösung=MapThread[Rule,{{y1[x],y2[x],y3[x]},Transpose[system[[2]]].({K,L,M}*Map[Exp,system[[1]]*x])}]

Probe durch Einsetzen:

{{y1'[x]},{y2'[x]},{y3'[x]}}-A.{{y1[x]},{y2[x]},{y3[x]}}/.Flatten[{homogenelösung,Map[D[#,x]&,homogenelösung]}]//Simplify

mathematicalösung=DSolve[{y1'[x]==7y1[x]-y2[x]+6y3[x],y2'[x]==-10y1[x]+4y2[x]-12y3[x],y3'[x]==-2y1[x]+y2[x]-y3[x]},{y1[x],y2[x],y3[x]},x]

ebenfalls Probe durch Einsetzen:

{{y1'[x]},{y2'[x]},{y3'[x]}}-A.{{y1[x]},{y2[x]},{y3[x]}}/.Flatten[{mathematicalösung,Map[D[#,x]&,mathematicalösung]}]//Simplify

Mathematica verwendet die Matrix-Exponentialfunktion

A

MatrixExp[A x]

Wronskimatrix

W=Transpose[system[[2]]*Exp[system[[1]]*x]]

Det[W]

Formeln aus der Vorlesung und inhomogenes Problem: Löse y’=A x+b mit

b={{2-7x},{10x-4},{2x-1}}

Variation der Konstanten

ansatz=MapThread[Rule,{{y1[x],y2[x],y3[x]},Transpose[system[[2]]].({K[x],L[x],M[x]}*Map[Exp,system[[1]]*x])}]

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung liefert:

dgl={y1'[x],y2'[x],y3'[x]}-A.{y1[x],y2[x],y3[x]}-{2-7x,10x-4,2x-1}/.Flatten[{ansatz,Map[D[#,x]&,ansatz]}]//Simplify

DSolve[Map[#==0&,dgl],{K[x],L[x],M[x]},x]

Lösung mit der Lösungsformel aus der Vorlesung. Das Fundamentalsystem (Lösung des homogenen Systems) ist gegeben durch

W=Transpose[system[[2]]*Exp[system[[1]]*x]]

Inverse[W]

Inverse[W/.x->0]

Inverse[W].b//Expand

lösung1=W.(Inverse[W/.x->0].{{y10},{y20},{y30}}+(∫_0^x)(Inverse[W].b/.x->t)\[DifferentialD]t)//Simplify

Vergleich mit DSolve:

lösung2=DSolve[{y1'[x]==7y1[x]-y2[x]+6y3[x]+2-7x,y2'[x]==-10y1[x]+4y2[x]-12y3[x]+10x-4,y3'[x]==-2y1[x]+y2[x]-y3[x]+2x-1,y1[0]==y10,y2[0]==y20,y3[0]==y30},{y1[x],y2[x],y3[x]},x]//Simplify

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung liefert:

{y1'[x],y2'[x],y3'[x]}-A.{y1[x],y2[x],y3[x]}-{2-7x,10x-4,2x-1}/.Flatten[{lösung2,Map[D[#,x]&,lösung2]}]//Simplify

Dasselbe gilt für unsere gefundene Lösung:

lösung1-({{y1[x]},{y2[x]},{y3[x]}}/.lösung2[[1]])//Simplify

lösung1=W.(Inverse[W/.x->0].{{1},{0},{2}}+(∫_0^x)(Inverse[W].b/.x->t)\[DifferentialD]t)//Simplify