Funktionentheorie

Clear[Realteil,Imaginärteil]

Realteil[f_]:=Simplify[ComplexExpand[Re[f/.z->x+I y],TargetFunctions->Conjugate]]

Imaginärteil[f_]:=Simplify[ComplexExpand[Im[f/.z->x+I y],TargetFunctions->Conjugate]]

Übungen und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Realteil[(z^3)]

Imaginärteil[(z^3)]

u=Realteil[((1+z)/(1-z))]

v=Imaginärteil[((1+z)/(1-z))]

{D[u,x],D[v,y]}

{D[u,x],D[v,y]}//Together

D[u,x]-D[v,y]//Together

D[u,y]+D[v,x]//Together

ableitung=D[u+I v,x]

Together[ableitung]

D[((1+z)/(1-z)),z]//Together

u=Realteil[Cos[z]]

v=Imaginärteil[Cos[z]]

{D[u,x],D[v,y]}

{D[u,y],D[v,x]}

ableitung=D[u+I v,x]

TrigReduce[ableitung]

Beispiel 2.5

u=Realteil[Log[z]]

v=Imaginärteil[Log[z]]

v=ArcTan[(y/x)]

v2=2ArcTan[(y/(x+(Sqrt[(x^2)+(y^2)])))]

{D[u,x],D[v,y],D[v2,y]}//FullSimplify

{D[u,y],D[v,x],D[v2,x]}//FullSimplify

ableitung=D[u+I v,x]

Together[ableitung]

Beispiel 2.6

ComplexExpand[Conjugate[x+I y]]

u=Realteil[Conjugate[z]*(E^(z^2))]

v=Imaginärteil[Conjugate[z]*(E^(z^2))]

D[u,x]

D[v,y]//Together

D[u,x]-D[v,y]//Together

D[u,y]

D[v,x]//Together

D[u,y]+D[v,x]//Together

Beispiel 2.7

u=Realteil[(E^(z^2))]

v=Imaginärteil[(E^(z^2))]

D[u,x]//Factor

D[v,y]//Factor

D[u,x]-D[v,y]//Together

D[u,y]

D[v,x]

D[u,y]+D[v,x]//Together

ableitung=D[u+I v,x]

Together[ableitung]

u,v sind harmonisch:

Delta[u_,{x_,y_}]:=Together[D[u,{x,2}]+D[u,{y,2}]]

u

Delta[u,{x,y}]

v

Delta[v,{x,y}]