Funktionentheorie: Kurvenintegrale

(∫_Q^□) (z^2)dz

(Subscript[Γ, 1])

(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#&)})\[DifferentialD]t

(Subscript[Γ, 2])

(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(1+#I&)})\[DifferentialD]t

Summe

int1=(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#&)})\[DifferentialD]t+(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(1+#I&)})\[DifferentialD]t

(Subscript[Γ, 3])

(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#I&)})\[DifferentialD]t

(Subscript[Γ, 4])

(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#+I&)})\[DifferentialD]t

Summe

int2=(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#I&)})\[DifferentialD]t+(∫_0^1)(((z[t])^2)z'[t]/.{z->(#+I&)})\[DifferentialD]t

int1-int2

(∫_Q^□) ((Conjugate[z])^2)dz

int1=(∫_0^1)(((Conjugate[z[t]])^2)z'[t]/.{z->(#&)})\[DifferentialD]t+(∫_0^1)(((Conjugate[z[t]])^2)z'[t]/.{z->(1+#I&)})\[DifferentialD]t

int1=(int1/.{Conjugate[t]->t})

int2=(∫_0^1)(((Conjugate[z[t]])^2)z'[t]/.{z->(#I&)})\[DifferentialD]t+(∫_0^1)(((Conjugate[z[t]])^2)z'[t]/.{z->(#+I&)})\[DifferentialD]t

int2=int2/.{Conjugate[t]->t}

int1-int2

Beispiel 3.8

int=(∫_0^(2π))(f[z[t]]/((z[t]-1)(z[t]+1)(z[t]+2I))z'[t]/.{z->(r (E^(I#))&)})\[DifferentialD]t

(1/((z-1)(z+1)(z+2I)))//Apart

Beispiel 3.9

int=(∫_0^(2π))(((z+r (E^(I t))))^3)\[DifferentialD]t

Kompliziertere Beispiele:

int=(∫_0^(2π))(((z+r (E^(I t))))^n)\[DifferentialD]t

Mathematica macht bei komplizierten Integralen viele derartige Fehler! Die meisten rühren von der Mehrdeutigkeit komplexer Funktionen.

int=(∫_0^(2π))(((z+r (E^(I t))))^100)\[DifferentialD]t