
% Vortrag von Andreas Meister

\begin{vortrag}{Zur mathematischen Fundierung einer Mehrskalenanalyse der 
                Euler-Gleichungen}{Andreas Meister}{meister}

% Der nachfolgende Text ist nur als Beispiel gedacht und NICHT als Richtlinie,
% wie der Vortrag zu gliedern ist!

\begin{abstract}
Das Abstract sollte eine kurze Einf\"uhrung
in den Vortrag geben, soda\3 man bereits hiernach mit Spannung den Rest
erwartet oder genau wei\3, da\3 man sich den Rest nicht durchlesen braucht. 
Hier ein beispielhaftes Abstract:

In den vergangenen Jahren konnte Klein \cite{meister:klein:95} erstmalig eine
asymptotische Mehrskalenanalyse der in dimensionsloser konservativer Form
gegebenen Euler-Gleichungen im Bereich sehr kleiner Mach-Zahlen durchf\"uhren
und die hieraus gewonnenen Erkenntnisse zur Erweiterung eines numerischen
Verfahrens nutzen. 

Die vorliegende Arbeit widmet sich der detaillierten Herleitung und
mathematischen Fundierung der in \cite{meister:klein:95} beschriebenen Eigenschaften
asymptotischer Funktionen innerhalb des gew\"ahlten Mehrskalenansatzes.

Im Anschlu\3 an eine kurze Einleitung werden einige grundlegende Aussagen
bez\"uglich Ein- und Mehrskalenentwicklungen bewiesen. Basierend auf einer
speziellen dimensionslosen Form der Euler-Gleichungen werden die hierdurch
erhaltenen Kenntnisse im Rahmen der durchgef\"uhrten Analyse zum Nachweis
relevanter Eigenschaften physikalischer Gr\"o\3en im erw\"ahnten
Str\"omungsbereich genutzt. 
\end{abstract}

\section{Einleitung}
\label{meister:kap_einleitung}

Hier sollte eine motivierende Einleitung stehen, die m\"oglichst zudem einen
\"Uberblick \"uber das Umfeld des Vortrags gibt. Damit meine ich eine
Einordnung der Arbeit in ein mathematisches und gegebenfalls auch
physikalisches Gebiet. Auch hier habe ich ein kleines Beispiel begelegt.

Vielen technischen Problemstellungen liegen Gleichungen zugrunde, die 
Parameter oder physikalische Gr\"o\3en enthalten, welche trotz 
ihrer geringen Quantit"at einen nicht
vernachl"assigbaren Einflu\3 auf das Verhalten des Gesamtsystems aus"uben.

Beispiele hierf"ur ergeben sich bei der Umstr"omung eines Profils geringer
Dicke \cite{meister:schnei:87, meister:meison:97} oder bei einem Masse-Feder-D"ampfer-System
mit kleiner Masse respektive D"ampfung \cite{meister:kevcol:96, meister:meison:97}.
Auch bei turbulenten Str"omungen  zeigt sich, da\3 die auftretenden
Geschwindigkeitsfluktuationen zwar nur wenige Prozent der
Hauptstr"omungsgeschwindigkeit betragen, jedoch eine ausschlaggebende Wirkung
auf die Gesamtstr"omung aus"uben, weil sie sich lokal auf die mittlere Str"omung
wie eine starke Z"ahigkeitserh"ohung auswirken. Bei den im folgenden
betrachteten Euler-Gleichungen erweist sich die Mach-Zahl als signifikanter
Parameter, da im Grenzfall verschwindender Mach-Zahl das urspr"unglich
hyperbolische System zu einem elliptisch-hyperbolischen System degeneriert,
wodurch unterschiedliche Anforderungen an das numerische Verfahren zur
Simualtion der Str"omungsfelder gestellt werden.  

Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit geben wir eine grundlegende
Einf\"uhrung in das Gebiet der asymptotischen Entwicklungen. Neben dem Nachweis
fundamentaler Eigenschaften asymptotischer Einskalenentwicklungen beschreiben
wir zwei zentrale Probleme hierauf beruhender Ans\"atze. Die erste Problematik
liegt in der Wahl der zugrundeliegenden asymptotischen Folge. Diese Folge mu\3
oftmals ohne genauere Kenntnis \"uber die Eigenschaften der gesuchten Funktion
gew\"ahlt werden, obwohl ihre geeignete Definiton eine grundlegende
Voraussetzung f\"ur einen erfolgreichen asymptotischen Ansatz darstellt.
Analog zu diesem Sachverhalt weisen wir auch die zweite Tatsache anhand eines
einfachen Beispiels nach. Dabei wird deutlich, da\3 Funktionen existieren, die
eine Einskalenentwicklung von vornherein unm\"oglich machen. In diesen F\"allen
wird h\"aufig eine Mehrskalenentwicklung ben\"otigt. 

Im zweiten Abschnitt widmen wir uns zun\"achst der Entdimensionalisierung der
Euler-Gleichungen. Anschlie\3end formulieren wir den verwendeten
Mehrskalenansatz und leiten unter zus\"atzlichen Bedingungen ein System
partieller Differentialgleichungen f\"ur die auftretenden asymptotischen
Funktionen her. Basierend auf diesen Differentialgleichungen werden 
daraufhin die von Klein \cite{meister:klein:95} hergeleiteten Eigenschaften der
asymptotischen Funktionen mathematisch formuliert und bewiesen. 


\section{Die Euler-Gleichungen}
\label{meister:euler}

Na und nun geht es los \ldots
Eine Bemerkung zu Referenzen. Bitte verwendet Labels in der Form {\sc
Nachname:beliebig} (auch f"ur die Referenz von Literatur!), denn nur dann 
gibt es keine Konflikte, wenn wir alles zusammenwerfen. 

Ich verwende also zum Beispiel:
\begin{center}
    $\backslash$label\{meister:euler\}
\end{center} 

\subsection{Ein asymptotischer Mehrskalenansatz f\"ur die Euler-Gleichungen}

Eine Subsection sieht so aus \ldots

\subsection{Eine Analyse des asymptotischen Systems}

Und es kann auch zwei geben \ldots

\section{Asymptotische Entwicklungen}
\label{meister:kap_asymptotische_entwicklungen}


\begin{beispiel}
Ein Beispiel \ldots
\end{beispiel}

\begin{satz}
Ein Satz \ldots
\end{satz}

\begin{beweis}
\ldots und ein Beweis.
\end{beweis}

\begin{definition}
Eine Definition \ldots
\end{definition}


\subsection{Einskalenentwicklungen}

\subsection{Mehrskalenentwicklungen}

\section{Zusammenfassung und Ausblick}

Die \"Uberschrift sagt wohl alles.

 
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{meister:kevcol:96}
\sc J.~Kevorkian\rm, \sc J.~D. Cole\rm.
\newblock {\em {Multiple Scale and Singular Pertubation Methods}}, volume 114
  of {\em Applied Mathematical Sciences}.
\newblock Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1996.

\bibitem{meister:klein:95}
\sc R.~Klein\rm.
\newblock {Semi-Implicit Extension of a Godunov-Type Scheme Based on Low Mach
  Number Asymptotics I: One-Dimensional Flow}.
\newblock {\em J. Comput. Phys.}, 121: 213--237, 1995.

\bibitem{meister:meison:97}
\sc A.~Meister\rm, \sc Th. Sonar\rm.
\newblock {Asymptotische Entwicklungen und ihre Anwendungen in technischen
  Problemstellungen}.
\newblock Vorlesungsausarbeitung, Universit\"at Hamburg,
  1997.

\bibitem{meister:schnei:87}
\sc W.~Schneider\rm.
\newblock {\em {Mathematische Methoden der Str\"omungsmechanik}}.
\newblock Vie\-weg, Braunschweig, 1987.


\end{thebibliography}
\end{vortrag}
