PolynomialMod[(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (x^k), (x^2) - 2]

(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (x^k) //. {(x^n)_ /; n > 1 -> 
          2  (x^(n - 2))}

PolynomialRemainder[(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (x^k), (x^2) - 2, 
      x]

(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (((Sqrt[2]))^k)

PolynomialMod[(x^9), (x^2) - 2, Modulus -> 5]

PolynomialMod[(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (x^k), (x^2) + 1]

(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) 
          (x^k) //. {(x^n)_ /; n > 1 -> -(x^(n - 2))}

PolynomialRemainder[(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (x^k), (x^2) + 1, 
      x]

(∑_(k = 0)^10) (Subscript[a, k]) (I^k)