A = {{1, 1, 1}, {1, -1, -2}, {1, -1, 0}}

b = {1, 0, 1}

LinearSolve[A, b]

sol = 
      Solve[{G1 = x + y + z == 1, G2 = x - y - 2  z == 0, 
          G3 = x - y == 1}, {x, y, z}]

{G1, G2, G3} /. sol[[1]]

sol = 
      Solve[{x + y + z == 1, x - y - 2  z == 0}, {x, y, 
          z}]

lin = LinearSolve[{{1, 1, 1}, {1, -1, -2}}, {1, 0}]

null = NullSpace[{{1, 1, 1}, {1, -1, -2}}]

lin + t*null[[1]]