Clear[Taylor]

    
Taylor[f_, {x_, x0_, n_}] := 
      Module[{ableitungen, k}, 
ableitungen = 
          NestList[D[#, x] &, f, n]; 
ableitungen = 
          ableitungen /. {x -> 
                x0}; 
(∑_(k = 0)^n) 
                    ableitungen[[k + 1]]/(k!) (((x - x0))^k) + 
          O[x - x0]^(n + 1)
]

Taylor[ArcSin[x], {x, 0, 10}]

Taylor[ArcSin[x]/x, {x, 0, 10}]

Clear[Taylor]

    
Taylor[f_, {x_, x0_, n_}] := 
      Module[{ableitungen, k}, 
ableitungen = 
          NestList[D[#, x] &, f, n]; 
ableitungen = 
          Map[Limit[#, x -> x0] &, 
            ableitungen]; 
(∑_(k = 0)^n) 
                    ableitungen[[k + 1]]/(k!) (((x - x0))^k) + 
          O[x - x0]^(n + 1)
]

Taylor[ArcSin[x]/x, {x, 0, 10}]

Taylor[Exp[-(1/(x^2))], {x, 0, 100}]

Plot[Exp[-(1/(x^2))], {x, -1, 1}, 
      PlotRange -> All]