Needs["SpecialFunctions`"]

(Subscript[f, 1])[x_] := Sin[x]^2

{HolonomicDE[(Subscript[f, 1])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 1])][0], {k, 0, 2}]}

(Subscript[f, 2])[x_] := 1 - Cos[x]^2

{HolonomicDE[(Subscript[f, 2])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 2])][0], {k, 0, 2}]}

(Subscript[f, 3])[x_] := Cos[ArcSin[x]]

(Subscript[f, 3])[x]

{HolonomicDE[(Subscript[f, 3])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 3])][0], {k, 0, 0}]}

(Subscript[f, 4])[x_] := (Sqrt[1 - (x^2)])

{HolonomicDE[(Subscript[f, 4])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 4])][0], {k, 0, 0}]}

(Subscript[f, 5])[x_] := ArcTanh[x]

{HolonomicDE[(Subscript[f, 5])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 5])][0], {k, 0, 1}]}

(Subscript[f, 6])[x_] := (1/2) Log[((1 + x)/(1 - x))]

{HolonomicDE[(Subscript[f, 6])[x], F[x]], 
      Table[Derivative[k][(Subscript[f, 6])][0], {k, 0, 1}]}

(Subscript[f, 5])[x] - (Subscript[f, 6])[x] // FullSimplify

FullSimplify[(Subscript[f, 5])[x] - (Subscript[f, 6])[x], x ∈ Reals]

FullSimplify[(Subscript[f, 5])[x] - (Subscript[f, 6])[x], x > -1 && x < 1]

Plot[(Subscript[f, 5])[x] - (Subscript[f, 6])[x], {x, -1, 1}]