Drehungen

drehung[α_] := {{Cos[α], 
          Sin[α]}, {-Sin[α], Cos[α]}}

drehung[α] . {{x}, {y}}

Det[drehung[α]] // Simplify

Inverse[drehung[α]] // Simplify

drehung[-α]

drehung[α] . drehung[β] // TrigReduce

MatrixPower[drehung[α], 10] // TrigReduce

Beispiele für Koordinatentransformationen

Beispiel 1

quadrik = x y - 1

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

ImplicitPlot[
      quadrik == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] yquer} /. {α -> (π/4)} // 
      Expand

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] 
                  yquer} /. {α -> -(π/4)} // 
      Expand

Beispiel 2

quadrik = (x^2) + (y^2) - x y - 1

ImplicitPlot[
      quadrik == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] yquer} /. {α -> (π/4)} // 
      Expand

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] 
                  yquer} /. {α -> -(π/4)} // 
      Expand

Beispiel 3

quadrik = (x^2) + (y^2) - 2  x y - x

ImplicitPlot[quadrik == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, 
      PlotPoints -> 100]

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] yquer} /. {α -> (π/4)} // 
      Expand

quadrik /. {x -> Cos[α] xquer - Sin[α] yquer, 
            y -> 
              Sin[α] xquer + 
                Cos[α] 
                  yquer} /. {α -> -(π/4)} // 
      Expand

Eine allgemeine Quadrik

Unprotect[D, E]; Clear[A, E]

quadrik = A (x^2) +  B x y  + C (y^2) + D x + E y + F

eine gedrehte Quadrik

G := Map[Simplify, 
        Collect[quadrik /. {x -> 
                xquer Cos[α] - yquer Sin[α], 
              y -> xquer Sin[α] + yquer Cos[α]}, {x, 
            y}]]

G

Die Koeffizienten der gedrehten Quadrik

KoeffizientenZuweisung[G_, {x_, y_}] := 
      Module[{A, B, C, D, E, F}, 
A = 
          Coefficient[G, x, 2]; 
B = 
          Coefficient[Coefficient[G, x], y]; 
C = 
          Coefficient[G, y, 2]; 
D = 
          Coefficient[Coefficient[G, x], y, 0]; 
E = 
          Coefficient[Coefficient[G, y], x, 0]; 
F = 
          Coefficient[Coefficient[G, x, 0], y, 0]; 
{A, B, 
          C, D, E, F}
]

{Aquer, Bquer, Cquer, Dquer, Equer, Fquer} = 
      KoeffizientenZuweisung[G, {xquer, yquer}]

Invarianten von Quadriken

(Bquer^2) - 4  Aquer Cquer

(Bquer^2) - 4  Aquer Cquer // Simplify

Aquer + Cquer // Simplify

Dquer + Equer // Simplify

(Dquer^2) + (Equer^2) // Simplify

Bei welchem Drehwinkel entsteht Normalform?

TrigReduce[Bquer] == 0

Drehwinkel := (1/2) ArcTan[(B/(A - C))]