Vieweg Programm Didaktik

Wolfram Koepf
DERIVE für den Mathematikunterricht
1996. XVI, 186 Seiten, 70 Abbildungen, mit Diskette, DM 59,80, ISBN 3-528-06752-7
Das Buch ist vergriffen. Daher kann es HIER heruntergeladen werden.

Dieses Buch orientiert sich am Schulstoff der Sekundarstufe II und wendet sich an Lehramtsstudenten und interessierte Lehrer, die sich in das Mathematikprogramm DERIVE einarbeiten möchten, um es dann im Unterricht, insbesondere in Leistungskursen Mathematik, zu benutzen.
Der Autor hat viele neue Funktionalitäten in DERIVE programmiert, die die Bearbeitung der behandelten Themen unterstützen und zum Teil erheblich vereinfachen. Diese können von der beiliegenden Diskette geladen werden. Als zusätzliche Hilfestellung sind die gesamten DERIVE-Sitzungen sowie die bearbeiteten Übungsaufgaben der beiden anderen Lehrbücher von Wolfram Koepf Mathematik mit DERIVE und Höhere Analysis mit DERIVE auf der Diskette enthalten.

Prof. Dr. Wolfram Koepf lehrt und forscht an der Universität Kassel. Er ist ein international anerkannter Fachmann für den Einsatz von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht.

Inhaltsangabe
Kapitel 1: Geometrie . Dreiecksgeometrie ohne Trigonometrie . Graphische Darstellung der Dreiecksgeometrie . Gleichseitige Dreiecke . Dreiecksgeometrie mit Trigonometrie . Iterative Berechnung der Kreiszahl
Kapitel 2: Kurven zweiter Ordnung . Die Ellipse . Die Parabel . Die Hyperbel . Drehungen . Polarkoordinatendarstellungen
Kapitel 3: Iterationsverfahren . Iteration und Fixpunkte . Das Newtonverfahren . Divergente und chaotische Iteration . Das Bisektionsverfahren . Verbessertes Newtonverfahren
Kapitel 4: Interpolationspolynome . Die Formel von Lagrange . Polynomapproximation von Funktionen . Genauere Näherungswerte trigonometrischer Funktionen . Fehlerrechnung für die Lagrange-Interpolation . Das Sinusprodukt
Kapitel 5: Flächenberechnung . Regelmäßige arithmetische Zerlegungen . Regelmäßige geometrische Zerlegungen . Numerische Integration . Graphische Darstellung der Integrationsverfahren . Volumina und Oberflächen von Rotationskörpern
Kapitel 6: Partielle Integration . Unbestimmte Integration . Integrale von Potenzen . Bestimmte Integration . Schlecht konditionierte Probleme . Integrale, bei denen DERIVE scheitert
Kapitel 7: Potenzreihen . Integralformeln mit DERIVE . Beweis durch Substitution . Die Logarithmus- und Arkustangensreihe . Randverhalten der Reihen . Die Exponentialreihe
Kapitel 8: Die Goldbachsche Vermutung . Goldbachzerlegungen . Asymptotische Betrachtungen . Goldbachzerlegungen großer ganzer Zahlen
Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . Lineare Gleichungssysteme . Matrizen und Kondition . Die Hilbertmatrix
Kapitel 10: Einfache Differentialgleichungen . Warum Differentialgleichungen? . Trennung der Variablen . Orthogonaltrajektorien . Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . Die Schwingungsgleichung
Kapitel 11: DERIVE-Funktionen
Kapitel 12: Quellennachweise

Vorwort
Vor einigen Jahren habe ich anläßlich meiner Analysis-Vorlesungen am Fachbereich Mathematik der Freien Universität Berlin die beiden Bücher

Koepf, W., Ben-Israel, A. und Gilbert, R. P.
Mathematik mit DERIVE
Vieweg, 1993
ISBN 3-528-06549-4

Koepf, W.
Höhere Analysis mit DERIVE
Vieweg, 1994
ISBN 3-528-06594-X

In einer Rezension, die im Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 26 (1994), 143-146, erschien, schrieb Dr. Leo Klingen über das erste dieser Bücher:

Aus der Sicht des Rezensenten stellt das Buch mit dem umfangreichen begleitenden Übungsapparat eine ideale Wiederauffrischung der klassischen Anfängervorlesung für jeden Gymnasiallehrer dar, für den sie zu Beginn seines Studiums zum Pflichtpensum gehörte.

(...) Die herkömmliche Literatur zur Analysisvorlesung kann man in zwei Gruppen gliedern. (...) Nun kommt mit dem vorliegenden Band von Koepf u. a. eine dritte Variante hinzu: durch eine straffe, aber trotzdem gut lesbare Darstellung wird der Platz gewonnen, zahlreiche DERIVE-Mustersitzungen und über 450 (!) Übungsaufgaben (überwiegend mit DERIVE lösbar) sowie einen Anhang mit einer Einführung in DERIVE unterzubringen, ohne daß eine große Linie des Zusammenhangs gestört wird (wozu auch der gelungene Satz des Hauptautors Koepf beiträgt). (...)

Eine Gesamtwürdigung des Buches darf zunächst ein Gedankenexperiment durchführen: wenn man alle DERIVE-bezogenen Teile streicht, stellt der Torso immer noch ein brauchbares, straff organisiertes und lesbares Kompendium für die Anfängervorlesung dar. Wenn man aber diese Teile wieder hinzufügt, resultiert eine Studienhilfe, die ihresgleichen sucht! (...) M. E. ließe sich etwa für ein Fernstudium keine bessere Lektüre finden, die zugleich eine hochwirksame Selbstkontrolle auswirkt.

Da sich an deutschen Hochschulen eher die voll programmierfähigen Computeralgebrasysteme Maple und Mathematica etabliert haben, (aber auch diese Programme werden noch nicht besonders häufig eingesetzt,) stellte sich heraus, daß meine Bücher vor allem von Lehrern an Schulen gekauft wurden, die sich Gedanken über die Einbindung eines solchen Systems in ihren Unterricht machten.

Auf der anderen Seite aber waren meine Bücher ja nun nicht explizit für diesen Personenkreis geschrieben worden, geschweige denn für den direkten Einsatz im Schulunterricht.

Diesem Mangel soll das vorliegende Buch abhelfen. Bei der Auswahl der Themen wurde hauptsächlich an den Einsatz in der gymnasialen Oberstufe gedacht. Teile des Buchs können hierbei im Grundkurs eingesetzt werden, andere Teile wiederum bieten sich für den Leistungskurs an. Ich bin der Meinung, daß ein Programm wie DERIVE nicht zu früh im Schulunterricht verwendet werden sollte, weshalb ich mich auf diese Leistungsstufe konzentriert habe. Außerdem gibt es für den Einsatz in der Sekundarstufe I bereits einige andere Bücher.

Ich habe versucht, die Kapitel weitgehend unabhängig zu gestalten. Daher kann die Lehrerin oder der Lehrer ohne weiteres ein einzelnes Kapitel oder auch einen einzelnen Abschnitt herausgreifen und als Unterrichtseinheit verwenden. An wenigen Stellen werden zwar Querverweise auf andere Kapitel vorgenommen, allerdings hauptsächlich, um mathematische Querverbindungen zwischen den verschiedenen Themen herzustellen. Zum Verständnis ist es an diesen Stellen aber nicht erforderlich, das jeweilig zitierte Kapitel im Unterricht durchzunehmen.

Ich möchte an dieser Stelle die Auswahl der für dieses Buch ausgesuchten Themen begründen, denn nicht alle behandelten Teile stehen im Lehrplan der Oberstufe. Dies hat aber seine Gründe. Ganz generell bin ich der Überzeugung, daß der Einsatz von DERIVE den Mathematikunterricht der Zukunft verändern wird. Genauso, wie der Taschenrechner die Untersuchung anderer mathematischer Fragestellungen möglich (und notwendig) machte, liefert der Einsatz eines Mathematikprogramms wie DERIVE die Möglichkeit, u. U. ,,ganz nebenbei'' (im Rahmen der sowieso anstehenden Wiederholung eines Unterrichtsgegenstands) ein Thema zu behandeln, das man zwar für wichtig (oder interessant) hält, zu dem aber sonst keine Zeit gewesen wäre.

Als Beispiel sei Kapitel 7 genannt, mit Hilfe dessen man das Thema Reihen im Rahmen der Wiederholung der Integrationstechniken behandeln kann. Angesichts der Stundentafelkürzungen der letzten Jahre kann dies durchaus ein interessanter Gesichtspunkt sein.

Ursprünglich hatte ich vor, ein Kapitel über analytische Fragestellungen mit mehreren Variablen aufzunehmen. Dies läßt sich mit DERIVE recht gut durchführen. Das momentane Curriculum der Oberstufe schließt aber eine Behandlung dieses Themenkreises aus Zeitgründen aus. Dies hat mich schließlich dazu bewogen, diesen Stoff durch ein Kapitel über Differentialgleichungen zu ersetzen. Dieses Kapitel gehört durchaus zum Schulstoff, und auch hierfür eignet sich DERIVE sehr gut. Was die angesprochenen Problemstellungen mit mehreren Variablen betrifft, kann ich an dieser Stelle nur auf das zu Beginn zitierte Buch Höhere Analysis mit DERIVE verweisen.

Schließlich ist die Themenauswahl selbstverständlich von DERIVEs Möglichkeiten und nicht zuletzt auch von meinen eigenen Vorlieben geprägt.

Ich gehe in der Folge etwas näher auf die Inhalte der einzelnen Kapitel ein.

1.

Geometrie: Dieses Kapitel geht weit über den üblichen Unterrichtsstoff hinaus. Auf der anderen Seite kann man hier mit DERIVE besonders schöne und interessante Ergebnisse erzielen. Das Kapitel muß aber keineswegs als Einheit behandelt werden. Wer die Lösung von Gleichungssystemen wiederholen will, hat in Abschnitt 1.1 eine interessante Anwendung. Die graphische Darstellung und die Berechnung von Dreiecken wird in Abschnitt 1.2 behandelt. Geometrische Ungleichungen sind das Thema von Abschnitt 1.3, während sich Abschnitt 1.4 zur Wiederholung von Trigonometrie eignet. Dieser Abschnitt erfordert allerdings die Kenntnis von Determinanten. Schließlich wird die Berechnung von durch die Approximation des Kreises durch gleichmäßige Vielecke mit ihren numerischen Fallen in Abschnitt 1.5 behandelt. Dieser Abschnitt verbindet historische Elemente (Archimedes' Berechnung von ) mit der ganz modernen Fragestellung problemangepaßter Algorithmen.

2.

Kurven zweiter Ordnung: In diesem Kapitel werden Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sowie ihre Darstellung durch algebraische Gleichungen zweiter Ordnung behandelt. DERIVE kann helfen, dieses Thema relativ zügig durchzunehmen. Physikdozenten der Universitäten stellen fest, daß die meisten ihrer Studenten in dieser Beziehung mangelhaft auf ihr Studium vorbereitet sind. Wenn es um die Planetenbewegung geht, braucht der Physikstudent aber das hier behandelte Wissen, insbesondere auch die Polarkoordinatendarstellung, die in Abschnitt 2.5 auf eine völlig neue Art (nämlich durch Faktorisierung) hergeleitet wird. Seine wissenschaftliche Bedeutung sollte Begründung genug sein, sich dieses interessanten Themas in der Schule anzunehmen. In Abschnitt 2.4 wird die Drehung von Koordinatensystemen behandelt. Das ist auch unabhängig von Quadriken von Interesse.

3.

Iterationsverfahren: Dieses Kapitel behandelt typischen Schulstoff auf neue Weise. Sowohl das Newtonverfahren als auch das Bisektionsverfahren werden zur Nullstellenbestimmung verwendet. Ferner wird das allgemeine Iterationsverfahren behandelt. Bei allen Verfahren werden graphische Darstellungen zum besseren Verständnis herangezogen. In einer Unterrichtseinheit hat sich gezeigt, daß die graphische Darstellung des Iterationsverfahrens sich dazu eignet, Schülerinnen und Schülern bei der Bewertung der Güte der Konvergenz des Verfahrens behilflich zu sein. Chaotische Iterationen wie die logistische Iteration können mühelos von jedem Schüler mit DERIVE erzeugt und analysiert werden. Dies ist ,,in'' und wird von den Schülern gerne aufgegriffen. Mathematikprogramme machen eine neue Disziplin möglich, das mathematische Entdecken mit dem Computer.

4.

Interpolationspolynome: Die allgemeine Polynomapproximation wird in der Schule üblicherweise nicht behandelt. Meist begnügt man sich mit der Polynomapproximation durch quadratische (oder kubische) Funktionen. Dies ist im wesentlichen darin begründet, daß der allgemeine Fall zu umfänglichen Rechnungen führt, die kaum mehr mit der Hand zu bewältigen sind. Bei der Verwendung eines Computeralgebrasystems sticht dieses Argument aber nicht mehr: Die langwierigen (und langweiligen) Routinerechnungen überträgt man dem Computer. Dadurch können Einsichten über die Polynomapproximation gewonnen werden, welche sonst nicht erreichbar sind. In Abschnitt 4.3 wird die Sinusfunktion durch Polynome approximiert, was bei verschiedener Approximationsqualität zu ihrer näherungsweisen Berechnung verwendet werden kann. Natürlich können die Näherungen wieder graphisch untersucht werden. Abschnitt 4.4 zur Fehlerrechnung ist der Vollständigkeit halber (in kleinerer Schrift) aufgenommen worden, wird aber i. a. eher zu schwierig sein bzw. aus Zeitgründen weggelassen werden. In Abschnitt 4.5 wird schließlich ein Ausblick auf das Eulersche Sinusprodukt gegeben.

5.

Flächenberechnung: Hier wird das Integrationsproblem der Bestimmung von Flächeninhalten behandelt. Während im Schulunterricht üblicherweise sehr schnell der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Bestimmung von Flächeninhalten herangezogen wird, womit man das Flächenproblem allerdings gerade umgeht, benutze ich DERIVEs algebraische Fähigkeiten, um Flächeninhalte ganz im archimedischen Sinne mit Hilfe ihrer geometrischen Definition zu berechnen. Dies geht in vielen Fällen gut, genauso oft aber auch schief. Nachdem die Schülerinnen und Schüler dieses Scheitern erlebt haben, werden sie umso mehr den Stellenwert des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung würdigen. Ferner runden numerische Approximationen (Trapez- und Simpsonregel) und ihre graphischen Darstellungen das Bild der Flächenberechnung ab. Als Anwendung der Integration werden in Abschnitt 5.5 Volumina und Oberflächen von Rotationskörpern berechnet.

6.

Partielle Integration: Während DERIVE u. a. alle Integrale berechnen kann, die in der Integralsammlung von Bronstein und Semendjajew geschlossen dargestellt sind, gilt dies nicht für solche Integrale, für die in dieser Sammlung nur eine Rekursionsformel gegeben ist. Im vorliegenden Kapitel zeige ich, wie DERIVE dabei behilflich sein kann, Rekursionsformeln für Integrale herzuleiten. Diese können dazu benutzt werden, den Wert bestimmter Integrale zu finden, die DERIVE nicht von alleine berechnen kann. In der Praxis treten bei konkreten Berechnungen wieder schlecht konditionierte Fragestellungen auf.

7.

Potenzreihen: Während Potenzreihen nicht zum Standardkanon des
Oberstufenunterrichts gehören, gilt dies für Integrationstechniken wie Substitution ganz bestimmt. Im vorliegenden Kapitel werden diese Integrationstechniken dazu verwendet, als Nebenprodukt die Arkustangens-, Logarithmus- und Exponentialreihe herzuleiten. In Anbetracht der Bedeutung von Potenzreihen beim Mathematikstudium stellt dies insbesondere für diejenigen Schülerinnen und Schüler, die Mathematik studieren wollen, eine wertvolle Ergänzung des Unterrichtsstoffs dar.

8.

Die Goldbachsche Vermutung: Dieses Kapitel hat keinen Bezug zum Schulunterricht und ist auch nicht dazu gedacht, in das übliche Curriculum Aufnahme zu finden. Auf der anderen Seite kann der Einsatz von DERIVE das schulische Angebot an besonders begabte Schüler bereichern: Anhand eines einfach zu formulierenden mathematischen Sachverhalts, der dennoch höchst anspruchsvoll ist, können hochbegabte Schülerinnen und Schüler mit DERIVE mathematische Experimente durchführen, die Spaß machen und ihre mathematische Denkweise schulen.

9.

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen: In diesem Kapitel werden lineare Gleichungssysteme und Matrizen behandelt. Ein bedeutsamer Gesichtspunkt ist der der Kondition, welcher für die wissenschaftlichen Anwendungen außerordentlich wichtig ist. Anhand einfacher Beispiele wird dieser Begriff sorgfältig erarbeitet. Danach wird die Kondition der Hilbertmatrix untersucht. Hierbei erweist sich der Einsatz von DERIVE mit der Möglichkeit exakten rationalen Rechnens als ausgesprochen wichtig.

10.

Einfache Differentialgleichungen: Es wird anhand von Beispielen gezeigt, warum Differentialgleichungen in vielen Anwendungen eine bedeutende Rolle spielen. Wir behandeln die Methode der Trennung der Variablen sowie lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Als Anwendung aus der Geometrie werden Orthogonaltrajektorien bestimmt. Schließlich wird die Schwingungsgleichung eingehend untersucht. In diesem Kapitel kann DERIVE alle seine Register ausspielen: Differentiation, Integration, trigonometrische Umformungen usw. Hier können in besonders eindrucksvoller Weise langwierige und im allgemeinen nicht sonderlich aufschlußreiche symbolische Rechnungen an den Rechner abgegeben werden, um sich dafür umsomehr den zugrundeliegenden Konzepten widmen zu können.

Lassen Sie mich noch ein paar Worte zur Methodik meines Einsatzes von DERIVE sagen. Natürlich kann man DERIVE beispielsweise dazu verwenden, praktisch auf Knopfdruck schnell ein Integral zu berechnen. Damit kommt man auch erstaunlich weit, DERIVE kann weit mehr Integrationen durchführen als jeder Schüler (und ohne jemandem nahetreten zu wollen: als jeder Lehrer). Diese Art des Einsatzes eines Mathematikprogramms macht allerdings gerade in der Schule wenig Sinn. Daher habe ich mich bemüht, DERIVE eher als didaktisches Hilfsmittel denn als eine omnipotente Formelsammlung einzusetzen. Im Mittelpunkt stehen immer mathematische Fragestellungen und nicht DERIVE. In Kapitel 5 wird DERIVE beispielsweise dazu benutzt, das Verständnis für die Integration im archimedischen Sinn zu fördern anstatt DERIVEs Integrationskommando zu strapazieren.

Meine ursprüngliche Planung sah ein einführendes Kapitel über die Benutzung von DERIVE vor. Um dieses Kapitel anbieten zu können, habe ich einige Monate lang vergeblich auf die angekündigte Windows-Version von DERIVE gewartet, welche ich in diesem Kapitel u. a. vorstellen wollte. Aus mehreren Gründen habe ich mich schließlich entschlossen, auf dieses einführende Kapitel zu verzichten. Zum einen wollte ich nicht mehr länger auf die immer wieder verschobene Markteinführung einer Windows-Version von DERIVE warten. Zum zweiten läßt die Computerausstattung der meisten Schulen eine Benutzung von DERIVE unter Windows ohnehin nicht zu. Und zum dritten hat sich in der Praxis gezeigt, daß unsere heutigen Schülerinnen und Schüler mit dem Handling menüorientierter Computerprogramme wie DERIVE im Grunde keine Schwierigkeiten haben. Natürlich dauert es immer eine gewisse Zeit, bis dieses Handling eine gewisse Perfektion erreicht hat, aber diese Eingewöhnungszeit kann auch durch einen einführenden Kursus - für den man im Unterricht wohl sowieso keine Zeit finden dürfte - nicht eliminiert werden. In der Praxis eignen sich die Schülerinnen und Schüler das nötige Wissen über DERIVE recht schnell anhand konkreter Aufgabenstellungen an.

Bedarf für eine Einführung in DERIVE besteht also eher auf der Lehrerseite. Lehrerinnen und Lehrer müssen ja den Unterricht und damit auch den Einsatz von DERIVE vorbereiten. Ich kann diesbezüglich an dieser Stelle allerdings nur auf Kapitel 13 des zu Beginn zitierten Buchs Mathematik mit DERIVE verweisen. Gegebenenfalls kann eine solche Einführung in einer späteren Auflage des vorliegenden Buchs ja nachgeholt werden.

Zur Unterstützung liegt dem vorliegenden Buch eine Diskette bei, die das direkte Laden aller verwendeter DERIVE-Funktionen ermöglicht. Durch diese DERIVE-Funktionen, welche in Kapitel 11 vorgestellt werden, werden neue Funktionalitäten erklärt, z. B. die graphische Darstellung von Iterationsverfahren. Als zusätzliche Hilfestellung für Lehrerinnen und Lehrer sind auf der beiliegende Diskette die gesamten DERIVE-Sitzungen sowie die bearbeiteten Übungsaufgaben der Lehrbücher Mathematik mit DERIVE und Höhere Analysis mit DERIVE enthalten.

Die deutschsprachigen DERIVE-Benutzer haben lange genug eine deutsche Version gefordert, mit der Folge, daß die DERIVE-Entwickler inzwischen eine solche herausgebracht haben. Obwohl ich von dem Nutzen verschiedensprachiger DERIVE-Versionen nicht so überzeugt bin, weil dies einerseits Kompatibilitätsfragen aufwirft (die Versionen haben verschiedene ,,Hotkeys'') und zum anderen Inkonsistenzen mit sich bringt, z. B. entspricht nun dem deutschen Mult Menü das DERIVE-Kommando EXPAND - in der englischen Originalversion heißen natürlich beide EXPAND -, habe ich mich dem Druck gebeugt und die deutschen Menünamen verwendet.

Um trotzdem auch die Verwendung der englischen DERIVE-Version zu ermöglichen, gebe ich daher in Kapitel 12 eine Liste der in diesem Buch verwendeten DERIVE-Menüs und -Kommandos und die entsprechenden Menü- und Kommandonamen der englischen Originalversion von DERIVE. Die jeweils großgeschriebenen Buchstaben sind die ,,Hotkeys'', mit denen der Menüpunkt aufgerufen werden kann. Die Menünamen können auch im DERIVE Stichwortverzeichnis gefunden werden.

Ich bin überzeugt davon, daß der Schuleinsatz von DERIVE in der nahem Zukunft immer größere Bedeutung erlangen wird. Erst vor kurzem hat das Bundesland Hamburg eine Schullizenz für DERIVE erworben und vermutlich werden andere Bundesländer folgen. Nachdem Taschenrechner heutzutage überall Verwendung finden und es dadurch unerläßlich wurde, dies auch im schulischen Mathematikunterricht zu berücksichtigen, wird es zu einer zukünftigen gesellschaftlichen Aufgabe des Schul-, und hier insbesondere des Mathematikunterrichts, der zunehmenden Benutzung von Mathematikprogrammen Rechnung zu tragen. Ich hoffe, daß das vorliegende Buch hierzu einige Anregungen geben kann.

Warum ich gerade DERIVE und nicht beispielsweise Maple, Mathematica oder auch das für akademische Zwecke kostenlose MuPAD zur Grundlage für dieses Schulbuch gemacht habe, möchte ich mit einem Beispiel begründen: Noch Leibniz, der Begründer der Differential- und Integralrechnung, bezweifelte, daß sich die Funktion

elementar integrieren ließe. Dies lag daran, daß er keine echte reelle Faktorisierung des Nenners

finden konnte. Nimmt man nun eines der erwähnten Systeme und faktorisiert dieses Polynom, so erhält man wieder die Eingabe zurück. Dies scheint Leibniz recht zu geben. Anders DERIVE: Die Anwendung des faKt-Menüs auf resultiert im Erscheinen eines Untermenüs. Dieses Untermenü meldet sich mit der Frage an den Benutzer

faKt: Ausmaß: Trivial Squarefree Rational raDical Complex

Dies gibt dem Benutzer, also beispielsweise dem experimentierenden Schüler, die nötige Information darüber, daß es verschiedene Algorithmen für unterschiedliche Faktorisierungsebenen gibt. Gibt man sich mit einer rationalen Faktorisierung zufrieden - und dies ist es genau, was jedes der anderen Systeme tut - werden keine echten Faktoren gefunden. Erst das Erlauben von Wurzeln, also die Auswahl des raDical-Algorithmus, erzeugt die Faktoren

Die Auswahl von Complex zerlegt das Polynom weiter, was aber für die ursprüngliche Integrationsaufgabe ohne Bedeutung ist.
Ich möchte mich herzlich bedanken für die Anregungen von Dr. Horst Kuschnerow, der einige Themen in seinem Leistungskurs an der John-F.-Kennedy-Schule in Berlin durchgenommen hat und mich auch am Unterricht teilnehmen ließ. Ferner möchte ich mich für die vielen Hinweise von Dr. Ingmar Lehmann sowie Dr. Dieter Schmersau bedanken, die beide eine Erstfassung des Buchs sehr sorgfältig durchgearbeitet haben, und deren Vorschläge ihren Niederschlag in der nun vorliegenden Endfassung gefunden haben. Schließlich geht mein Dank an den Präsidenten des Konrad-Zuse-Zentrums Prof. Dr. Peter Deuflhard, ohne dessen Unterstützung das vorliegende Buch nicht möglich gewesen wäre.
Berlin, am 27. Juni 1996

Wolfram Koepf