3 Funktionen

Beispiel 3.8 Im Bereich ''Begründungen/ Interpretationen/ Herleitungen'' haben wir gesehen, wie eine beliebige Parabel durch geometrische Abbildungen aus der Normalparabel entstehen kann. Dabei wurden allerdings bislang keine gestreckten und verschobenen Parabeln betrachtet. Dies wollen wir an dieser Stelle anhand der Funktion y=2 x2 +6x+ 15 2 nachholen:
Zunächst bringen wir die Funktionsleichung in die Scheitelpunktform und erhalten dabei
y=2 (x+ 3 2 )2 +3 .
Nun beginnen wir bei der Normalparabel y= x2 und verschieben diese zunächst um - 3 2 in x-Richtung und um 3 in y-Richtung, wodurch wir die Gleichung der verschobenen Funktion y=(x+ 3 2 )2 +3 erhalten.
Strecken wir nun diese Parabel mit dem Faktor 2, so bedeutet dies, dass alle Funktionswerte mit 2 multipliziert werden und wir die neue Funktion y=2( (x+ 3 2 )2 +3)=2 (x+ 3 2 )2 +6 erhalten.
Es sollte Ihnen aufgefallen sein, dass sich dadurch auch die Lage des Scheitelpunktes verändert hat und wir nun keine Verschiebung in y-Richtung um 3 sondern um 6 haben. Offensichtich kommen wir auf diesem Weg nicht auf unsere Zielfunktion y=2 (x+ 3 2 )2 +3 . Woran kann das liegen?
Ursache ist die Reihenfolge der einzelnen Abbildungsschritte: Damit sich bei der Streckung die Lage des Scheitelpunktes nicht verändert, muss zuerst gestreckt und dann verschoben werden. In unserem Beispiel bedeutet dies also zunächst eine Streckung mit dem Faktor 2, sodass wir y=2 x2 erhalten. Die anschließende Verschiebung liefert uns dann die gewünschte Funktionsgleichung: y=2 (x+ 3 2 )2 +3